| Math |
Высшая Математика Решение задач и примеров - OnLine
|
| ./ Главная /Теория игр, ШАГ-1/ШАГ-2/Финиш > |
Пример решения задачи теории игр в чистых стратегиях нашим сервисом:Задача: Матричная игра задана следующей платежной матрицей :
- найти верхнюю цену игры; - нижнюю цену игры; - чистую цену игры; - указать оптимальные стратегии игроков; - привести графическое решение (геометрическую интерпретацию), при необходимости. Шаг:1 Определим нижнюю цену игры - αНижняя цена игры α — это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется "чистой").Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец ( Выделен желтым цветом см. Табл.1 ). Затем найдем максимальный элемент дополнительного столбца (отмечен звездочкой), это и будет нижняя цена игры. Таблица 1 В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 4.43, и для того чтобы гарантировать себе
выигрыш не хуже чем 4.43 мы должны придерживаться стратегии A3
Шаг:2 Определим верхнюю цену игры - βВерхняя цена игры β — это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу ( Выделена желтым цветом см. Табл.2 ). Затем найдем минимальный элемент дополнительной строки (отмечен плюсом), это и будет верхняя цена игры. Таблица 2 В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 4.43, и для того чтобы гарантировать себе
проигрыш не хуже чем 4.43 противник ( игрок "B") должен придерживаться стратегии B2
Шаг:3 Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они совпадают, т.е. α = β = 4.43 . Это значит, что игра имеет решение в так называемых "чистых", минимаксных стратегиях. Это как раз те стратегии для игроков "A" и "B" которые были найдены выше, при поиске нижней и верхней цен игры. То есть, в нашем случае для игрока "A" оптимальной будет стратегия A3, а для игрока "В" - B2. Нетрудно заметить, что элемент платежной матрицы расположенный на пересечении чистых оптимальных стратегий (строка 3, столбец 2) является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце (отмечен знаками *+ см. Табл.2). Такие элементы называются седловыми точками, именно их наличие и определяет существование решения игры в чистых стратегиях, а его значение (в нашем случае 4.43) совпадает с чистой ценой игры или просто ценой игры - v. Пара оптимальных стратегий, в играх имеющих седловую точку, всегда проходит через последнюю. Таблица 2 Ответ:
Нижняя цена игры, верхняя цена игры и чистая цена игры: α = β = v = 4.43; Пара оптимальных стратегий: A3B2 см. пример в смешанных стратегиях... решить мою задачу... на ввод условия... к списку решаемых задач... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||