Пример вычисления корреляции, построения линейной регрессии и проверки гипотезы зависимости двух СВ нашим сервисом:

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 1.4 ) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу ( 1.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

1.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 1.4 ), для этого вычислим значения x_k², y_k² и x_ky_k и занесем их в таблицу 1.

Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:

Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (t_кр.α) при заданном уровне значимости α. Если вычисленное по формуле ( 2.1 ) t по модулю окажется меньше чем t_кр.α, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом

Рассчитанный по формуле ( 3.2 ) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным.

Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам :

Величину σ_y/x (формула  3.4 ) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением ( 3.1 ), при фиксированном (заданном) значении X.

3.1. Вычислим отношение

Sy2 Sx2

.

S_y² / S_x²  =  0.20538 /  0.66481 =  0.30894

3.2. Вычислим отношение

Sy Sx

.

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим:
S_y / S_x  =  0.55582


3.3 Вычислим коэффициент b по формуле ( 3.2 )

b =  -0.72028 •  0.55582 =  -0.40035


3.4 Вычислим коэффициент a по формуле ( 3.3 )

a =  30.50000 - ( -0.40035 •  25.75000) =  40.80894


3.5 Оценим погрешности уравнения регрессии.

3.5.1 Извлечем из S_y² квадратный корень получим:

Sy =

√ 0.20538

= 0.45319 ;

3.5.2 Возведем в квадрат R_x,y получим:

R²_x,y = -0.72028² = 0.51880

3.5.3 Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 3.4 )

σy/x =  0.45319

√ 1 - 0.51880

= 0.31437

3.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле ( 3.5 )

δ_y/x = ( 0.31437 /  30.50000)100% = 1.03073%

ОТВЕТ:	Уравнение линейной регрессии имеет вид:     Y = 40.80894 -0.40035 X     ( 3.6 )
	Погрешности уравнения: σy/x =  0.31437 ;     δy/x =  1.03073%

4. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.

Диаграмма рассеяния — это графическое изображение соответствующих пар (x_k , y_k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной.

4.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 18-й и 15-й элементы соответственно, x_min =  22.10000 и x_max =  26.60000.

4.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 2-й и 18-й элементы соответственно, y_min =  29.40000 и y_max =  31.60000.


4.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x₁₈ =  22.10000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x₁₅ =  26.60000 и отчетливо различались остальные точки.

4.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y₂ =  29.40000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y₁₈ =  31.60000 и отчетливо различались остальные точки.

4.5. На оси абсцисс размещаем значения x_k, а на оси ординат значения y_k.

4.6. Наносим точки (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ),…,(x₂₆, y₂₆ ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже.


4.7. Начертим линию регрессии.

Для этого найдем две различные точки с координатами (x_r1 , y_r1) и (x_r2 , y_r2) удовлетворяющие уравнению (3.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x_min =  22.10000. Подставим значение x_min в уравнение (3.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (  22.10000, 31.96127 ). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x_max =  26.60000. Вторая точка будет: (  26.60000, 30.15970 ).

Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом
Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (M_x , M_y).



см. пример с ковариацией...

решить мою задачу...
на ввод условия...

к списку решаемых задач...