Пример вычисления ковариации, построения графика и уравнения линейной регрессии нашим сервисом:

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 2.4 ) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу ( 2.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

2.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ) для этого воспользуемся результатами представленными в таблице 1, дополнив последнюю двумя новыми столбцами в которые запишем (предварительно вычислив) значения квадратов центрированных случайных величин (x_k-M_x)² и (y_k-M_y)². Получим таблицу 2.

Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:

Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (t_кр.α) при заданном уровне значимости α. Если вычисленное по формуле ( 3.1 ) t по модулю окажется меньше чем t_кр.α, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом

Рассчитанный по формуле ( 4.2 ) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным.

Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам :

Величину σ_y/x (формула  4.4 ) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением ( 4.1 ), при фиксированном (заданном) значении X.

4.1. Вычислим отношение

σy2 σx2

.

σ_y² / σ_x²  =  5.42149 /  14.72727 =  0.36813

4.2. Вычислим отношение

σy σx

.

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим:
σ_y / σ_x  =  0.60673


4.3 Вычислим коэффициент b по формуле ( 4.2 )

b =  -0.34591 •  0.60673 =  -0.20988


4.4 Вычислим коэффициент a по формуле ( 4.3 )

a =  13.18182 - ( -0.20988 •  51.00000) =  23.88552


4.5 Оценим погрешности уравнения регрессии.

4.5.1 Извлечем из σ_y² квадратный корень получим:

σy =

√ 5.42149

= 2.32841 ;

4.5.2 Возведем в квадрат R_x,y получим:

R²_x,y = -0.34591² = 0.11966

4.5.3 Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 4.4 )

σy/x =  2.32841

√ 1 - 0.11966

= 2.18467

4.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле ( 4.5 )

δ_y/x = ( 2.18467 /  13.18182)100% = 16.57335%

ОТВЕТ:	Уравнение линейной регрессии имеет вид:     Y = 23.88552 -0.20988 X     ( 4.6 )
	Погрешности уравнения: σy/x =  2.18467 ;     δy/x =  16.57335%

5. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.

Диаграмма рассеяния — это графическое изображение соответствующих пар (x_k , y_k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной.

5.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 5-й и 8-й элементы соответственно, x_min =  46.00000 и x_max =  60.00000.

5.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 8-й и 9-й элементы соответственно, y_min =  10.00000 и y_max =  18.00000.


5.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x₅ =  46.00000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x₈ =  60.00000 и отчетливо различались остальные точки.

5.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y₈ =  10.00000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y₉ =  18.00000 и отчетливо различались остальные точки.

5.5. На оси абсцисс размещаем значения x_k, а на оси ординат значения y_k.

5.6. Наносим точки (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ),…,(x₁₁, y₁₁ ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже.


5.7. Начертим линию регрессии.

Для этого найдем две различные точки с координатами (x_r1 , y_r1) и (x_r2 , y_r2) удовлетворяющие уравнению (4.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x_min =  46.00000. Подставим значение x_min в уравнение (4.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (  46.00000, 14.23120 ). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x_max =  60.00000. Вторая точка будет: (  60.00000, 11.29293 ).

Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом
Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (M_x , M_y).



см. пример без ковариации...

решить мою задачу...
на ввод условия...

к списку решаемых задач...